رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
جمع و ضرب بردارها
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٠ ‎ب.ظ روز ۱٩ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

سه بردار متوالی a و b و c به طولهای 3 و 5 و 6 یک مثلث را می سازند. حاصلضرب داخلی دو بردار a و b چیست؟


سه بردار یک مثلث می سازند بنابراین جمع سه بردار صفر است

                        a+b+c = 0  -->  a+b = - c  --> |a+b|2 = |c|2

نکته : اندازه جمع یا تفاضل دو بردار برابر است با

           c|a+b|2 = |a|2+|b|2+2a.b  ;  |a - b|2 = |a|2+|b|2 - 2a.b

بنابراین در این مسئله داریم

                    c|a|2+|b|2 + 2a.b = |c|2  -->  9+25 + 2a.b = 36

و در انتها داریم                                                           a.b = 1

راه حل دوم

نکته : در هر مثلث رابطه کسینوسی زیر را داریم

                                                         c2 = a2+b2 - 2ab.cosC

بنابراین
                               C36 = 9+25 - 30.cosC  -->  cosC = -1/15

و ضرب داخلی دو بردار a و b برابر است با

                             a.b = |a||b|.cos(pi - C) = 15 * (1/15) = 1