رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله معکوس مثلثاتی- جواب سوال دانشجوی کاردانی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٦ ‎ب.ظ روز ٢٩ اردیبهشت ۱۳٩٠
 

حاصل عبارت زیر را به دست آورید

      ((arccos(1/x)+arcsin(root(x2+x+1))+arctan(root(x2+x


سه جمله عبارت را به ترتیب a و b و c می نامیم.

بنابراین
                                           arccos(1/x) = a  -->  cosa = 1/x

و            (arcsin(root(x2+x+1)) = b  -->  sinb = root(x2+x+1

و                    (arctan(root(x2+x)) = c  -->  tanc = root(x2+x

از دو معادله دوم و سوم داریم

                                  sin2b = 1+tan2c  -->  sin2b = 1/cos2c

بنابراین
                                      sin2b.cos2c = 1  -->  sinb.cosc = 1

اما مقادیر sin و cos همواره کوچکتر از یک هستند و فقط زمانی این حاصلضرب برابر یک می شود که هر دو برابر یک باشند.

بنابراین
                                                         sinb = 1  -->  b = pi/2

و                                                           cosc = 1  -->  c = 0

از دو معادله اول و سوم داریم

                                                   x = 1/cosa  ; tan2c = x2+x

بنابراین
                           tan2c = 1/cos2a + 1/cosa = (1+cosa)/cos2a

اما c = 0 است بنابراین tan2c = 0

بنابراین
                                  cosa+1 = 0  --> cosa = -1  -->  a = pi

بنابراین حاصل نهایی معادله بالا برابر است با

                                            a+b+c = pi + pi/2 + 0 = 3pi/2