رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
شرط وجود جواب در معادله سیاله خطی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤٦ ‎ب.ظ روز ۱٦ امرداد ۱۳٩٠
 

چند عدد طبیعی برای b در مجموعه A= {1,2,3,...,100}c وجود دارد که

معادله سیاله 24x + b2y = 4 جوابهای صحیح داشته باشد؟


شرط وجود جواب این است که بزرگترین مقسوم علیه b2 و 24  عدد 4 را بشمارد.

اگر این بزرگترین مقسوم علیه مشترک را d بنامیم باید عدد 4 بر آن تقسیم پذیر باشد.

بنابراین d می تواند فقط یکی از اعداد 1 و 2 و 4 باشد.

اما عدد 24 بر 2 و 3 و 4 و 6 و 8 و 12 و 24 بخش پذیر است بنابراین b نباید بر اعداد 3 و 4 بخش پذیر باشد.

در مجموعه ذکر شده

تعداد اعدادی که بر 3 قابل قسمتند برابر است با n1 = [100/3] = 33

و تعداد اعدادی که بر 4 قابل قسمتند برابر است با n2 = [100/4] = 25

اما تعداد اعدادی که بر هر دو قابل قسمتند برابر n3 = [100/12] = 8 است.

و در انتها تعداد اعدادی که در معادله سیاله خطی صدق می کنند برابر است با


                n = 100 - (n1 + n2 - n3) = 100 - 33 - 25 + 8 = 50