رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله خط مماس بر منحنی مفروض از نقطه ای خارج از منحنی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳٤ ‎ب.ظ روز ٧ آذر ۱۳۸٩
 

از نقطه (A(0,-1  مماسی بر منحنی  y = x2 رسم شده است. معادله خط مماس و مختصات نقطه تماس را به دست آورید.


روش اول
شیب خط مماس را m فرض می کنیم که از نقطه A می گذرد.

بنابراین معادله خط مماس عبارت است از :

   (y - y0 = m(x - x0  و یا (y +1 = m(x - 0  و یا  y = mx - 1

اما این خط  معادله منحنی  y = x2  را قطع نموده و دارای دو ریشه مزدوج است.

بنابراین اولا" این دو معادله را برابر یکدیگر قرار داده و ثانیا" دلتای معادله حاصل را برابر صفر قرار می دهیم:

    x2 = mx - 1  و یا  x2 - mx + 1 = 0   

بنابراین    b2 - 4ac = m2 - 4 = 0 = دلتا

بنابراین دو جواب  m = 2  و  m = -2 به دست آمده

و معادله خط مماس  y = 2x - 1  یا  y = -2x - 1 است.

از طرف دیگر با قرار دادن مقادیر m در معادله درجه دو قبلی

یعنی x2 - 2x + 1 = 0      یا     x2 + 2x + 1 = 0      

مقادیر x = 1 و x = -1 به دست آمده و از آنجا مقدار y = 1 به دست می آید.

بنابراین نقاط تماس عبارتند از (B(1,1  و (C(-1,1

روش دوم

طول نقطه تماس منحنی  یعنی B با خط مماس را x = a فرض می کنیم.

پس عرض نقطه تماس  y = a2 است.

مشتق منحنی در همه نقاط  y' = 2x است.

اما مقدار این مشتق در نقطه تماس یعنی y' = 2a برابر شیب  خط مماس یعنی m می باشد.

از طرف دیگر شیب خطی که از دو نقطه A و B می گذردبرابر

کسر(m = (a2 + 1)/(a - 0 است. 

با برابر قرار دادن این دو مقدار m داریم :  a2 + 1 = 2a2  و یا  a2 = 1 

بنابراین a = 1   یا  a = -1

بنابراین دو طول x = 1 و x = -1  برای دو نقطه تماس به دست می آید.

پس نقاط تماس عبارتند از (B(1,1  و (C(-1,1 

و شیبها عبارتند از  m = 2 و  m = -2

و در انتها معادلات خطوط مماس عبارتند از  y = 2x - 1  و  y = -2x - 1