رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
پیوستگی و مشتق
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤۱ ‎ب.ظ روز ۸ آذر ۱۳۸٩
 

تابع (f(x در x = 0 برابر 0 و در  x # 0  برابر (x.sin(1/x  تعریف شده است.
آیا این تابع در نقطه x = 0  پیوسته است؟  آیا در این نقطه مشتق پذیر است؟


مقدار تابع (f(x  در نقطه صفر برابر مقدار صفر است.

مقدار این تابع در همسایگی نقطه صفر برابر  (lim x.sin(1/x  است وقتی که x به صفر میل کند برابر صفر ضرب در مقداری کراندار پس برابر صفر است.

بنابراین تابع  در نقطه  x = 0  پیوسته است.

برای آزمایش مشتق پذیر بودن از تعریف مشتق یعنی حد

کسر (f(x) - f(x0))/(x - x0)  استفاده می کنیم.


    (f '(0) = lim (f(x) - f(x0))/(x - 0) = lim x.sin(1/x)/x = lim sin(1/x

اما حد فوق وقتی x به سمت صفر میل می کند وجود ندارد بنابراین تابع در نقطه x = 0 مشتق پذیر نیست.  

نکته :بنابراین پیوستگی یک تابع در یک نقطه دلیلی بر مشتق پذیر بودن آن نمی شود.

اما اگر تابعی در یک نقطه مشتق پذیر باشد می توان گفت که در آن نقطه پیوسته نیز می باشد.