رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
حرکت و مشتق
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٤:٤۱ ‎ب.ظ روز ٢۳ آذر ۱۳۸٩
 

اتومبیلی در یک خیابان در حالی که 5 کیلومتر با یک تقاطع فاصله دارد با سرعت  48  کیلومتر بر ساعت به سمت تقاطع در حرکت است. اتومبیل دیگری در خیابانی عمود بر این خیابان در حالی که 10 کیلومتر با تقاطع فاصله دارد با سرعت 36   کیلومتر بر ساعت به سمت تقاطع در حرکت است.
کمترین فاصله دو اتومبیل چقدر است و در چه زمانی این اتفاق رخ می دهد؟


فاصله اتومبیل اول از تقاطع را x و فاصله اتومبیل دوم از تقاطع را y و فاصله این دو اتومبیل از یکدیگر را z می نامیم.
طبیعی است که z وتر مثلث قائم الزاویه با دو طول x و y است.


اگر زمان را بر حسب دقیقه بسنجیم معادله حرکت اتومبیل اول  x = 5 - 0.8t  و معادله حرکت اتومبیل دوم  y = 10 - 0.6t است.
بنابراین فاصله لحظه ای دو اتومبیل از یکدیگر برابر است با :       z2 = x2 + y2 
با مشتق گیری از این رابطه نسبت به زمان داریم :     2z.dz/dt = 2x.dx/dt + 2y.dy/dt

اما فاصله مینیمم وقتی است که  dz/dt صفر باشد. از طرف دیگر  dx/dt = -0.8  و  dy/dt = -0.6  است.بنابراین با جایگزینی این مقادیر در مشتق به دست آمده داریم :                                                                                           0 = 0.8(5 -

با حل این معادله زمان  t = 10 دقیقه به دست می آید.
و از دو معادله حرکت   x = - 3  و  y = 4   و حداقل فاصله   z = 5   کیلومتر به دست می آید.
توجه کنید که اتومبیل اول 3 کیلومتر از تقاطع رد شده است.