رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
معادله سیاله خطی و بزگترین مقسوم علیه مشترک
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٤٥ ‎ب.ظ روز ۱۱ مهر ۱۳٩٠
 

اگر (357x + 629y = (357,629  آنگاه کوچکترین عدد مثبت  x + y  چیست؟


در مرحله اول توجه کنید که مقصود از طرف دوم معادله بزرگترین مقسوم علیه مشترک این دو عدد می باشد.

بنابراین با تجزیه این دو عدد داریم

                                             357 = 3*7*17  ;  629 = 17*37

بنابراین معادله تبدیل می شود به
                                                               357x + 629y = 17

و با ساده سازی آن داریم
                                                                    21x + 37y = 1

برای حل این معادله سیاله خطی می نویسیم

                                  x = (1 - 37y)/21 = - y + (1 - 16y)/21

برای اینکه x جواب صحیح داشته باشد باید صورت کسر مضرب 21 باشد.

بنابراین
                                   21k = 1 - 16y  -->  y = (1 - 21k)/16

مقدار y را بر حسب k به دست آوردیم.

با قرار دادن این مقدار در رابطه قبلی مقدار x را نیز بر حسب k می یابیم.

                                    x = (21k - 1)/16 + k = (37k - 1)/16

عدد k تمام اعداد صحیح را شامل می شود ولی فقط مقادیری قابل قبولند که x و y صحیح تولید کنند.

از طرف دیگر با جمع دو مقدار x و y دیده می شود که x + y = k است.

و از آنجاییکه مسئله کوچکترین عدد مثبت k را خواسته است بنابراین اعداد طبیعی را به ترتیب مساوی k قرار می دهیم تا به اولین x و y صحیح برسیم.

اولین عدد طبیعی ای که x و y صحیح تولید می کند عدد 13می باشد.

زیرا
             x = (37*13 -1)/16 = 30 ; y = (1 - 21*13)/16 = - 17

بنابر این جواب مسئله همان عدد 13 می باشد.