رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
خروج از مرکز مقطع مخروطی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٢٥ ‎ب.ظ روز ۱۱ مهر ۱۳٩٠
 

خروج از مرکز مقطع مخروطی زیر چیست؟

                     (x + y +1)(4x + y + 2) = (x - 2y + 3)(x + 7y + 4)


طرف اول تساوی برابر است با

                        4x2 + 4xy + 4x + xy + y2 + y + 2x + 2y + 2

و طرف دوم برابر است با

                  x2 - 2xy + 3x + 7xy - 14y2 + 21y + 4x - 8y + 12

و بعد از ساده سازی داریم

                                             3x2 + 15y2 - x - 10y - 10 = 0

و برای تبدیل این معادله به حالت استاندارد یک مقطع مخروطی می نویسیم

   c3(x2 - x/3 +1/36) -1/12 + 15(y2 - 2y/3 +1/9) -5/3 -10 = 0

و یا
                                    c3(x - 1/6)2 + 15(y - 1/3)2 = 141/12

و در انتها
                         (x - 1/6)2/15 + (y - 1/3)2/3 = 141/(12*45)

بنابراین مقطع مخروطی یک بیضی به مرکز (1/6 , 1/3) بوده و

                                                              a2 = 15 ; b2 = 3

 توضیح: البته برای به دست آوردن معادله واقعی بیضی باید دو طرف تساوی را بر عدد کسری طرف دوم تقسیم کنیم ولی از آنجاییکه هدف به دست آوردن نسبت c به a است برای سادگی روابط از این کار صرف نظر می کنیم.

بنابراین
                                                c2 = a2 - b2 = 15 - 3 = 12

و خروج از مرکز آن برابر است با

                                    e = c/a = root12/root15 = 2/root5