رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
سری تیلور و محاسبه جذر اعداد
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٢ ‎ب.ظ روز ۱۳ مهر ۱۳٩٠
 

با استفاده از بسط تیلور یک تابع یعنی !f(x) = Z(x - a)nf(n)(a)/n  روشی برای محاسبه جذر اعداد بیابید.


به چند نکته توجه کنید:

اولا" در این بسط مقصود از (f(n)(a  مشتق n ام تابع f در نقطه x = a است.

ثانیا" مقدار n از صفر تا بی نهایت است.

ثالثا" از علامت Z به جای علامت زیگما استفاده شده است.

رابعا" این بسط فقط معادل تابع f را در حول و حوش عدد a به دست می دهد.( بسط در نقطه x = a نوشته شده است)

خواست مسئله محاسبه جذر یک عدد است . بنابراین تابع f را برابر f(x) = rootx در نظر می گیریم و بسط تیلور آنرا میابیم.

مشتق اول این تابع برابر f'(x) = 1/2rootx و بنابراین f'(a) = 1/2roota

مشتق دوم آن برابر f"(x) = -1/4x.rootx و بنابراین f"(a) = -1/4a.roota

مشتق سوم آن برابر f'"(x) = 3/8x2.rootx و بنابراین f'"(a) = 3/8a2.roota

و به همین ترتیب الی آخر.

و بنابراین بسط تیلور تابع جذر برابر است با

   rootx = roota + (x - a)/2roota - (x - a)2/8a.roota + (x - a)3/16a2.roota

حال با این فرمول می توانید جذر هر عددی را محاسبه کنید.

فقط توجه داشته باشید که در این محاسبه باید a را نزدیکترین عدد مربعی به عدد مورد نظر انتخاب کنید.

مثلا" برای محاسبه جذر عدد x = 14  بهترین انتخاب ما برای a عدد 16 است.

بنابراین
                                    root14 = 4 - 2/8 - 1/128 - ... = 3.74