رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
نسبت مساحتهای دو مثلث
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٦ ‎ب.ظ روز ۱٦ مهر ۱۳٩٠
 

در مثلث ABC نقطه N روی ضلع AC را به نقطه M روی ضلع BC وصل کرده و CN/AC = BM/BC = 1/3 است. نسبت مساحتهای SMNC به SABC چیست؟


نکته : مساحت هر مثلث برابر است با S = (1/2).ab.sinC  

اثبات : دو فرمول زیر را برای هر مثلثی داریم

                                                   S = (1/2)bh  ;  h = a.sinC

بنابراین                                                       S = (1/2)ab.sinC

اما حل مسئله

اگر NC = x باشد داریم  AN = 2x

و نیز اگر  BM = y  باشد داریم  MC = 2y

بنابراین
                                          SMNC = (1/2)x.2y.sinC = xy.sinC

و به همین ترتیب
                                SABC = (1/2).3x.3y.sinC = (9/2)xy.sinC
و در نتیجه
                                                               SABC/SMNC = 9/2