رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
محاسبه تابع معکوس و مشتق آن
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٩ ‎ب.ظ روز ۱٧ مهر ۱۳٩٠
 

مشتق تابع معکوس تابع زیر در نقطه x = 2/5 را به دست آورید.

                                                                    (f(x) = x/(1 + x2


روش اول :

در این روش ابتدا نقطه متناظر با x = 2/5 را در تابع اصلی می یابیم.

می دانیم که تابع معکوس قرینه تابع اصلی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم است.

بنابراین در تابع اصلی به ازای y = 2/5 داریم

                                                 2/5 = x/(1 + x2)  -->  x = 2

مشتق تابع اصلی در این نقطه برابر است با

                          f'(x) = (1 - x2)/(1 + x2)2  -->  f'(2) = - 3/25

و مشتق تابع معکوس در نقطه متناظر معکوس مشتق تابع اصلی است

                                                               f'-1(2/5) = -25 /3

روش دوم :

در این روش مستقیما" تابع معکوس را می یابیم.

                                     y = x/(1 + x2)  -->  yx2 - x + y = 0
هدف یافتن x بر حسب y است.

با دقت در معادله بالا دیده می شود که معادله فوق معادله ای درجه دو بر حسب x و با ضرایب y بوده و به راحتی قابل حل است .

بنابراین
                                                  x = (1 +- root(1 - 4y2))/2y

با در نظر گرفتن اینکه ما فقط مشتق در قسمت مثبت تابع معکوس را می خواهیم .

بنابراین علامت منفی رابطه فوق را ندیده گرفته و رابطه تابع معکوس در نیم صفحه راست برابر است با

                                            f-1(x) = (1 + root(1 - 4x2))/2x

و مشتق آن بعد از ساده کردن برابر است با

              f'-1(x) = - 2/root(1 - 4x2) - 1/2x2 - root(1 - 4x2)/2x2

و مقدار این مشتق در نقطه x = 2/5 برابر است با

                               f'-1(2/5) = - 10/3 - 25/8 - 15/8 = - 25/3