رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
شرط مشتق پذیری تابع
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۱٠ ‎ب.ظ روز ٢٠ مهر ۱۳٩٠
 

تابع f به ازای x|>1| به صورت |f(x) = 1/|x  و به ازای x|<1|  به صورت  f(x) = ax2 + b  تعریف شده است. مقادیر a و b را طوری تعیین کنید که این تابع در هر نقطه مشتق پذیر باشد.


نکته : شرط مشتق پذیر بودن یک تابع در هر نقطه این است که اولا" تابع در آن نقطه پیوسته بوده و ثانیا" مشتق چپ و راست تابع در آن نقطه برابر باشند.

از تمام نقاط R در تابع بالا فقط دو نقطه x = 1 و x = -1 برای  ما اهمیت دارند.

زیرا واضح است که در باقی نقاطی که در دامنه تابع هستند این شرط صدق می کند.

در نقطه x = 1 دو رابطه زیر را داریم که باید برابر باشند.

   f1(x) = 1/x  --> f1(1) = 1 ; f2(x) = ax2 + b --> f2(1) = a + b

بنابراین                                                                 a + b = 1

به همین ترتیب در نقطه x = -1 داریم

                           f1(x) = -1/x --> f1(-1) = 1 ; f2(-1) = a + b

که باز هم باید  a + b = 1  باشد.

برای تساوی مشتقها در x = 1 داریم

    f'1(x) = -1/x2 --> f'1(1) =  -1 ; f'2(x) = 2ax --> f'2(1) = 2a

بنابراین باید 2a = -1 و یا a = -1/2 باشد.

به همین ترتیب در مورد x = -1 داریم

                          f'1(x) = 1/x2 --> f'1(-1) = 1 ; f'2(-1) = - 2a

که دوباره به همان شرط  a = -1/2 می رسیم.

و نیز با در نظر گرفتن شرط اول داریم  b = 3/2