رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
حد دنباله همگرا مثلثاتی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:۳٠ ‎ب.ظ روز ٢٧ مهر ۱۳٩٠
 

حد دنباله همگرا با جمله عمومی زیر را بیابید.

                            (un = cos(a/2).cos(a/22).cos(a/23)...cos(a/2n


اولا" با روش استقرا ثابت می کنیم که

                    (sina = 2ncos(a/2).cos(a/22)...cos(a/2n).sin(a/2n

برای n = 1 واضح است که
                                                     (sina = 2cos(a/2).sin(a/2

اگر رابطه فوق برای n = k برقرار باشد

                    (sina = 2kcos(a/2).cos(a/22)...cos(a/2k).sin(a/2k

از آنجاییکه داریم
                                     (sin(a/2k) = 2sin(a/2k+1).cos(a/2k+1

بنابراین داریم

 (sina = 2k+1cos(a/2).cos(a/22)...cos(a/2k).cos(a/2k+1).sin(a/2k+1

بنابراین رابطه فوق برای n = k + 1 نیز برقرار بوده و رابطه اثبات می شود.

در نتیجه حد فوق برابر است با

                                            (lim un = lim (sina)/(2nsin(a/2n

و یا
                  lim un = lim (sina)/a * (a/2n)/sin(a/2n) = (sina)/a