رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
قضیه مقدار میانی در تابع
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ۳ آبان ۱۳٩٠
 

فرض کنید a و b و c و d و e عددهای حقیقی باشند و  a<b<c<d

ثابت کنید معادله c(x - a)(x - c) + e(x - b)(x - d) = 0 ریشه ای حقیقی دارد.


ابتدا تابع زیر را در نظر بگیرید

                                       (f(x) = (x - a)(x - c) + e(x - b)(x - d  

در این تابع  مقادیر f(a)c و f(c)c عبارتند از

                           (f(a) = e(a - b)(a - d)  ;  f(c) = e(c - b)(c - d

با فرض e = 0  داریم f(a) = f(c) = 0

یعنی a و c ریشه های حقیقی معادله اند و مسئله اثبات می شود.

با فرض اینکه e برابر صفر نباشد داریم

                                   (f(a).f(c) = e2(a - b)(a - d)(c - b)(c - d

با استفاده از شرط نامساوی مسئله دیده می شود که این حاصلضرب همواره منفی است.

بنابراین طبق قضیه مقدار میانی - تابع فوق دارای حداقل یک ریشه حقیقی در فاصله a تا c می باشد.