رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
مشتق و بهینه سازی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ٧ آبان ۱۳٩٠
 

در ذوزنقه قائم الزاویه ای به طول قاعده های 3 و 5 و ساق غیر قائم به طول 2root10 (دو رادیکال ده) مورچه ای روی ساق قائم در حرکت است. مینیمم فاصله مورچه از دو راس غیر قائم چقدر است؟


بدیهی است که با مقادیر داده شده طول ساق قائم 6 است.

زیرا
                                  h2 = (2root10)2 - 22 = 36   -->  h = 6

اگر فاصله مورچه را از قاعده بزرگتر x بنامیم. فاصله آن از قاعده کوچک 6 - x خواهد بود.

بنابراین فواصل مورچه از دو راس غیر قائم برابر است با

                                        a2 = 25 + x2  ;  b2 = 9 + (6 - x)2

و مجموع این فواصل برابر است با

                     (y = a + b = root(x2 +25) + root(x2 -12x + 45

و برای یافتن مقدار بهینه این تابع کافیست مشتق آنرا برابر صفر قرار دهیم.

                    (y' = x/root(x2 +25) + (x - 6)/root(x2 -12x + 45

با مخرج مشترک گرفتن صورت کسر را صفر قرار می دهیم

                     xroot(x2 - 12x + 45) + (x - 6)root(x2 + 25) = 0   

یکی از جملات را به طرف دوم تساوی برده و سپس هر دو طرف را به توان دو می رسانیم

                                    (x2(x2 -12x + 45) = (x - 6)2(x2 + 25

با ساده سازی این رابطه داریم

                                                           4x2 - 75x + 225 = 0

و ریشه های این معادله عبارتند از

                              x = (75 +- 45)/8  -->  x = 15 ; x = 3.75

بدیهی است که جواب 15 غیر قابل قبول است.

و با جواب x = 3.75 مقادیر دو فاصله برابرند با

    a = root(25 + 3.752) = 6.25 ; b = root(9 + 2.252) = 3.75

و کمترین فاصله برابر است با

                                            y = a + b = 6.25 + 3.75 = 10