رتبه برتر کنکور..

کتاب آنلاین کنکور و کنکور ارشد

 
استقرای ریاضی
نویسنده : مهندس ضیابری - ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز ٢٥ آبان ۱۳٩٠
 

در اثبات نامساوی c1 + 2 + ... + n < (1/8)(2n + 1)2 ; n >=1 با کمک استقرای ریاضی کدام رابطه بدیهی زیر به کار می رود؟

   c4k2+12k+9=(2k+3)2 ; 4(k2+3k+2)<(2k+3)2 ; k+1<2k+3 ; k+1<2k  


اولا" به ازای n=1 داریم

                                           c1 < (1/8)(2 + 1)2  -->  1 < 9/8

که بدیهی بوده و صحیح است.

ثانیا" اگر رابطه زیر به ازای n=k درست باشد

                                          c1 + 2 + ... + k < (1/8)(2k + 1)2

باید ثابت کنیم به ازای n=k+1 نیز درست است. یعنی باید

                                      c1 +2 + ...+ (k+1) < (1/8)(2k +3)2

برای اثبات این رابطه اخیر دو طرف رابطه درست اول را با k+1 جمع  می کنیم.

                c1 + 2 + ... + k + (k+1) < (1/8)(2k + 1)2 + k + 1

اما طرف دوم برابر است با

          (c(1/8)(4k2 + 1 + 4k + 8k + 8) = (1/8)(4k2 + 12k + 9

و این نیز برابر است با
                                                             c= (1/8)(2k + 3)2

بنابراین رابطه نامساوی تبدیل می شود به

                                 c1 + 2 + ... + (k+1) < (1/8)(2k + 3)2

و به این ترتیب مسئله اثبات می شود.

دیده شد که در این اثبات از رابطه زیر استفاده شد

                                                c4k2 + 12k + 9 = (2k + 3)2